一元二次方程对称轴公式(二次函数对称轴公式怎么来的)

一元二次函数是高考数学的核心,同时也是难点,出题人主要从两个方面进行考核:带参数的一元二次函数和不带参数的一元二次函数。

而且高考习题中很多时候会考核学生换元的思想,大部分题型是换元后转变为二次函数进行求解。

函数中值域是学生们比较头疼的事情,本次课程我们将二次函数分为八大类,结合具体的实例为大家进行求值域方法的讲解,总结了一套通用的方法,有了技巧学习才会快,才能快速成为尖子生哦。

课程概述:本次课程总共八道经典例题,八种类型的求值域方法汇总,学习时间大概是40分钟,请合理安排自己的时间哦。

本次课程我们主要讲解不含参数的一元二次函数值域的求解方法,教你轻松拿下一元二次函数的值域问题。

温馨提示:x的平方记为:x^2。

本次课程我们所讲解的二次函数是形如:f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)的二次函数。时间关系,此次课程我们只讲解不含参数的二次函数怎么去求值域,含参数的二次函数我们下次课程再进行详细讲解。

八大类型的二次函数求值域,配着八大经典例题,希望学生们能够认真学习和吸收哦,不带参数的二次函数入门掌握了,才能学习带参数的二次函数哦,一步一个脚印才能掌握核心内容!

值域的概念

值域的几何意义就是图像中y值的取值范围。计算含义就是表达式的取值范围。大家一定要清晰值域指的是什么,才能明白我们讲解的技巧哦。

不含参数的一元二次函数值域求解技巧

不含参数的一元二次值域分为8个类型:

在定义域R上的值域分为两类求解技巧

值域为R的二次函数分为两个小类型:分别为

总体解决方法:看函数开口方向,最大值或者最小值为f(-b/2a),代入进行求值域即可。

类型1:开口向上的二次函数

开口向上的二次函数,函数的值域为f(x)大于等于(4ac-b^2)/4a;

类型2:开口向下的二次函数。

开口向下的二次函数,定义域为R,值域为f(x)小于等于(4ac-b^2)/4a。

技巧说明:严格按照上面给出的公式进行求解即可,可以记住模板进行数值的代入求解的。

例题1:求f(x)=x^2+2x+4的值域

解析:代入上面给出的公式即可,函数图像开口向上,函数的值域为f(x)大于等于f(-b/2a)=f(-1)=3,函数的值域为f(x)大于等于3;

例题2:求f(x)=-x^2+2x+4的值域

解析:函数的值域为f(x)小于等于f(1),即函数的值域为f(x)小于等于f(1)=5。

在给定区间上求值域分为六类求解技巧

在这个类型中具体可以分为6个小类型。分别为:

类型3:开口向上的二次函数给定区间包括对称轴,

如图:可以发现函数的对称轴处是函数的最小值,距离对称轴越远的点的纵坐标为函数的最大值。通过计算给定区间距离对称轴的距离求函数的值域即可。

类型4:开口向上的二次函数给定区间在对称轴的右侧;

如图,利用函数的单调性(在对称轴的左侧函数单调递增)进行求解即可。即如果给定的区间为(x7,x8),则函数的值域为(f(x7),f(x8))。

类型5:开口向上的二次函数给定区间在对称轴的左侧。

如上图利用函数的单调性(在对称轴的左侧函数单调递减)进行求解即可。即如果给定的区间为(x5,x6),则函数的值域为(f(x6),f(x5))。

类型6:开口向下的二次函数给定区间在对称轴的右侧。

直接利用函数的单调性(在对称轴的右侧函数单调递减)进行求解即可。即如果给定的区间为(x3,x4),则函数的值域为(f(x4),f(x3))。

类型7:开口向下的二次函数给定区间在对称轴的左侧。

直接利用函数的单调性(在对称轴的左侧函数单调递增)进行求解即可。即如果给定的区间为(x1,x2),则函数的值域为(f(x1),f(x2))。

类型8:开口向下的二次函数给定区间包括对称轴。

如图:可以发现函数的对称轴处是函数的最大值,距离对称轴越远的点的纵坐标为函数的最小值。通过计算给定区间距离对称轴的距离求函数的值域即可。

例题3:求f(x)=2x^2+2在【4,6】上的值域;

解析:f(x)的对称轴为x=0,给定区间在对称轴的右侧,利用单调性求得函数的值域为【f(4),f(6)】即【34,74】。

例题4:求f(x)=4x^2+8x在【-2,0】上的值域;

解析:f(x)的对称轴为x=-1,给定区间包括对称轴,-2和0到对称轴的距离相等(f(-1)=f(0)),因此函数的值域为【f(-1),f(0)】即【-4,0】;

例题5:求f(x)=x^2+2x在【-4,-3】上的值域;

解析:f(x)对称轴为x=-1,给定区间在对称轴的左侧,函数单调递减,函数的值域为【f(-3),f(-4)】,即【3,8】;

例题6:求f(x)=-x^2+8x+1在【-1,0】上的值域;

解析:函数的对称轴为x=4,给定区间在对称轴的左侧,单调递增,函数的值域为【f(-1),f(0)】即【-8,1】。

例题7:求f(x)=-x^2+4x在【1,6】上的值域;

解析:函数的对称轴为x=2,给定区间包括对称轴,6到2的距离大于1到2的距离,因此函数的值域为【f(6),f(2)】即【-12,4】。

例题8:求f(x)=-x^2-2x+1在【1,3】上的值域;

解析:函数的对称轴为x=-1,给定区间在对称轴的右侧,因此函数的值域为【f(3),f(1)】即函数的值域为【-14,-2】。

方法汇总

四个步骤教你轻松计算二次函数的值域:

1 首先找到二次函数的对称轴;

2 根据区间和对称轴的关系进行8大类型的二次函数值域求解模块的匹配;

3 根据找到的模块进行值域的求解;

4 最后计算出相关的结果即可;

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THE END
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